في العالم المالي، تعد نماذج بلاك سكولز ونماذج الخيارات ذات الحدين اثنين من أهم المفاهيم في النظرية المالية الحديثة. كلاهما يستخدم لتقييم خيار، ولكل منها مزاياها وعيوبها.

بعض المزايا الأساسية لاستخدام النموذج ذي الحدين هي:

• عرض متعدد الفترة
• الشفافية
• القدرة على دمج الاحتمالات

في هذه المقالة، سوف نستكشف مزايا استخدام النموذج ذي الحدين بدلا من بلاك سكولز، ونقدم بعض الخطوات الأساسية لتطوير النموذج وشرح كيفية استخدامه.

عرض متعدد الفترة
يتيح النموذج ذو الحدين عرضا متعدد المدة لسعر الأصل الأساسي بالإضافة إلى سعر الخيار. على النقيض من نموذج بلاك سكولز، الذي يوفر نتيجة عددية على أساس المدخلات، نموذج ثنائي الحدين يسمح لحساب الأصول والخيار لفترات متعددة جنبا إلى جنب مع مجموعة من النتائج المحتملة لكل فترة (انظر أدناه).

ميزة هذا العرض المتعدد الفترة هو أنه يمكن للمستخدم تصور التغير في سعر الأصول من فترة إلى أخرى وتقييم الخيار بناء على اتخاذ القرارات في أوقات مختلفة. بالنسبة للخيار الأمريكي، والذي يمكن ممارسته في أي وقت قبل تاريخ انتهاء الصلاحية، يمكن أن يوفر النموذج ذو الحدين نظرة ثاقبة عند ممارسة الخيار قد تبدو جذابة وعندما يجب أن تعقد لفترات أطول. من خلال النظر في شجرة القيم ذات الحدين، يمكن للمرء أن يحدد مقدما عند اتخاذ قرار بشأن ممارسة الرياضة. إذا كان الخيار له قيمة إيجابية، هناك إمكانية ممارسة، في حين إذا كان له قيمة أقل من الصفر، فإنه ينبغي أن عقد لفترات أطول.

الشفافية
ترتبط وثيقة الصلة بالمراجعة المتعددة الفترة بقدرة النموذج ذي الحدين على توفير الشفافية في القيمة الأساسية للأصل والخيار أثناء تقدمه بمرور الوقت.

1. سعر المخاطرة
2. سعر التمرين
3. السعر الحالي للأصل
4. الوقت اللازم للاستحقاق
5. التقلب الضمني لأسعار الأصول

عندما تشير نقاط البيانات هذه في نموذج بلاك سكولز، يحسب النموذج قيمة للخيار، ولكن لم يتم الكشف عن آثار هذه العوامل على أساس فترة. مع نموذج ثنائي الحدين، يمكن للمرء أن يرى التغير في سعر الأصول الأساسي من فترة إلى أخرى والتغيير المناظرة التي تسببت في سعر الخيار.

دمج الاحتمالات
الطريقة الأساسية لحساب نموذج الخيار ذو الحدين هي استخدام نفس الاحتمال كل فترة للنجاح والفشل حتى انتهاء صلاحية الخيار. ومع ذلك، يمكن للمرء في الواقع دمج الاحتمالات المختلفة لكل فترة على أساس المعلومات الجديدة التي تم الحصول عليها مع مرور الوقت.

على سبيل المثال، قد تكون هناك فرصة 50/50 أن سعر الأصل الأساسي يمكن أن تزيد أو تنقص بنسبة 30٪ في فترة واحدة.أما بالنسبة للفترة الثانية، فإن احتمال ارتفاع سعر الأصل الأساسي قد ينمو إلى 70/30. لنفترض أننا نقوم بتقييم بئر نفطي. ونحن لسنا متأكدين ما هي قيمة هذا البئر النفط، ولكن هناك فرصة 50/50 أن الأسعار سوف ترتفع. إذا ارتفعت أسعار النفط في الفترة 1، مما يجعل النفط أكثر قيمة، وأساسيات السوق تشير الآن إلى استمرار الزيادات في أسعار النفط، واحتمال مزيد من التقدير في الأسعار قد يكون الآن 70٪. نموذج ثنائي الحدود يسمح لهذه المرونة. نموذج بلاك سكولز لا.

تطوير نموذج
أبسط نموذج ثنائي الحدود سيكون اثنين من العائدات المتوقعة، التي احتمالات تصل إلى 100٪. في مثالنا، هناك نوعان من النتائج المحتملة لبئر النفط في كل نقطة من الزمن. وهناك نسخة أكثر تعقيدا يمكن أن يكون لها ثلاثة أو أكثر من نتائج مختلفة، كل منها يعطى احتمال حدوث.

لحساب العوائد لكل فترة تبدأ من الوقت صفر (الآن)، يجب علينا تحديد قيمة الأصل الأساسي فترة واحدة من الآن. في هذا المثال، سوف نفترض ما يلي:

• سعر الأصول الأساسية (P): 500 دولار
• سعر ممارسة خيار الشراء (K): 600 دولار
• معدل المخاطرة للفترة: 1٪
• تغير السعر كل فترة: 30٪ صعودا أو هبوطا

سعر الأصل الأساسي هو 500 دولار، وفي الفترة 1، يمكن أن تكون قيمته 650 دولار أمريكي أو 350 دولار أمريكي. وهذا يعادل ما يعادل 30٪ زيادة أو نقصان في فترة واحدة. بما أن سعر ممارسة خيارات المكالمة التي نحتفظ بها هو 600 دولار، إذا انتهى الأصل الأساسي إلى أقل من 600 دولار، ستكون قيمة خيار الاتصال صفرا. ومن ناحية أخرى، إذا تجاوز الأصل الأساسي سعر التمرين البالغ 600 دولار، ستكون قيمة خيار الاتصال هي الفرق بين سعر الأصل الأساسي وسعر التمرين. صيغة هذا الحساب هي [ماكس (P-K)، 0].

افترض أن هناك فرصة 50٪ من الصعود وفرصة 50٪ من النزول. باستخدام قيم الفترة 1 كمثال، يحسب هذا على أنه [ماكس (650-600، 0) * 50٪] + [ماكس (350-600، 0) * 50٪] = 50 * 50٪ + 0 * 50٪ = 25 دولارا. للحصول على القيمة الحالية لخيار الاتصال نحن بحاجة إلى خصم 25 $ في الفترة 1 إلى الفترة 0، وهو 25 $ / (1 + 1٪) = 24 $. 75 - وبإمكانك الآن أن ترى أنه إذا تغيرت الاحتمالات، فإن القيمة المتوقعة للأصل الأساسي ستتغير أيضا. إذا كان ينبغي تغيير الاحتمال، فإنه يمكن أيضا أن تتغير لكل فترة لاحقة وليس بالضرورة أن تبقى نفسها طوال الوقت.

يمكن توسيع النموذج ذو الحدين بسهولة إلى فترات متعددة. على الرغم من أن نموذج بلاك سكولز يمكن حساب نتيجة لتاريخ انتهاء صلاحيتها، فإن النموذج ذو الحدين يمتد نقاط القرار إلى فترات متعددة.

يستخدم النموذج ذو الحدين
بالإضافة إلى استخدامه لحساب قيمة أحد الخيارات، يمكن استخدام النموذج ذي الحدين أيضا للمشاريع أو الاستثمارات ذات درجة عالية من عدم اليقين، وميزنة رأس المال، وتخصيص الموارد القرارات، كما وكذلك مشاريع ذات فترات متعددة أو خيار مضمن إما الاستمرار أو التخلي عنها في بعض النقاط في الوقت المناسب.

أحد الأمثلة البسيطة هو المشروع الذي ينطوي على الحفر للنفط. وينشأ عدم اليقين من هذا النوع من المشاريع بسبب عدم شفافية ما إذا كانت الأرض التي يتم حفرها لديها أي نفط على الإطلاق، وكمية النفط التي يمكن حفرها، إذا تم العثور على النفط والسعر الذي يمكن بيع النفط مرة واحدة المستخرج.

نموذج الخيار ذو الحدين يمكن أن يساعد في اتخاذ القرارات في كل نقطة من مشروع حفر النفط. على سبيل المثال، نفترض أننا نقرر الحفر، ولكن بئر النفط لن تكون مربحة إلا إذا وجدنا ما يكفي من النفط وسعر النفط يتجاوز مبلغ معين. وسوف يستغرق فترة كاملة واحدة لتحديد مقدار النفط يمكننا استخراج فضلا عن سعر النفط في تلك المرحلة في الوقت المناسب. بعد الفترة الأولى (سنة واحدة، على سبيل المثال)، يمكننا أن نقرر بناء على هاتين النقطتين البيانات ما إذا كان الاستمرار في الحفر أو التخلي عن المشروع. ويمكن اتخاذ هذه القرارات بشكل مستمر حتى يتم التوصل إلى نقطة حيث لا توجد قيمة للحفر، في الوقت الذي سيتم التخلي عن البئر.

الخط السفلي
يسمح النموذج ذو الحدين بعرض متعدد المدة لسعر الأصل الأساسي وسعر الخيار لفترات متعددة بالإضافة إلى مجموعة النتائج المحتملة لكل فترة، مما يوفر عرضا أكثر تفصيلا. في حين أن كلا من نموذج بلاك سكولز ونموذج ثنائي الحدين يمكن استخدامها لتقييم الخيارات، نموذج ثنائي الحدين ببساطة لديها مجموعة واسعة من التطبيقات، هو أكثر سهولة وأسهل للاستخدام.