من الصعب جدا الاتفاق على التسعير الدقيق لأي من الأصول القابلة للتداول، حتى في الوقت الحاضر. هذا هو السبب في استمرار أسعار الأسهم المتغيرة باستمرار. في الواقع لا تكاد الشركة تغير تقييمها على أساس يومي، ولكن سعر السهم وتغير تقييمه في كل ثانية. وهذا يدل على صعوبة التوصل إلى توافق في الآراء حول سعر اليوم الحالي لأي من الأصول القابلة للتداول، مما يؤدي إلى فرص المراجحة. ومع ذلك، هذه الفرص المراجحة هي حقا قصيرة الأجل.

كل ذلك يتلخص في تقييم اليوم الحالي - ما هو السعر الحالي الصحيح اليوم لتحقيق عائد مستقبلي متوقع؟

في سوق تنافسية، لتجنب فرص المراجحة، يجب أن يكون للأصول التي لها هياكل تعويض مماثلة نفس السعر. وقد كان تقييم الخيارات مهمة صعبة، وقد لوحظت اختلافات كبيرة في التسعير مما أدى إلى فرص المراجحة. بلاك سكولز لا تزال واحدة من النماذج الأكثر شعبية المستخدمة في خيارات التسعير، ولكن لديها قيود خاصة بها. (لمزيد من المعلومات، راجع: خيارات التسعير ). نموذج التسعير خيار الحدين هو طريقة أخرى شعبية تستخدم لخيارات التسعير. تتناول هذه المقالة بضعة أمثلة شاملة خطوة بخطوة، وتشرح المفهوم المحايد للمخاطر الكامنة في تطبيق هذا النموذج. (للاطلاع على القراءة ذات الصلة، انظر: تفكيك النموذج ذي الحدين لقيمة الخيار ).

تفترض هذه المقالة معرفة المستخدم بالخيارات والمفاهيم والمصطلحات ذات الصلة.

افترض وجود خيار اتصال على سهم معين بسعر السوق الحالي هو 100 $. سعر الصرف الآلي أتم سعر الإضراب من 100 $ مع مرور الوقت لانتهاء سنة واحدة. هناك اثنين من التجار، بيتر وبول، اللذين اتفقا على أن سعر السهم إما أن يرتفع إلى 110 $ أو انخفاض إلى 90 $ في وقت واحد في السنة. ويتفق الطرفان على مستويات الأسعار المتوقعة في إطار زمني محدد مدته سنة واحدة، ولكنهما يختلفان على احتمال التحرك لأعلى (وتحرك لأسفل). ويعتقد بيتر أن احتمال سعر السهم يذهب إلى 110 $ هو 60٪، في حين يعتقد بول هو 40٪.

بناء على ما سبق، من سيكون على استعداد لدفع المزيد من السعر لخيار المكالمة؟

ربما بيتر، كما انه يتوقع احتمال كبير من التحرك صعودا.

دعونا نرى الحسابات للتحقق وفهم هذا. الأصول التي يعتمد عليها التقييم هي خيار الاتصال والمخزون الأساسي. وهناك اتفاق بين المشاركين على أن سعر السهم الأساسي يمكن أن يتحرك من 100 دولار إلى 110 دولار أو 90 دولار في سنة واحدة، ولا توجد أي حركة أخرى ممكنة.

في عالم خال من المراجحة، إذا كان علينا إنشاء محفظة تتألف من هذين الأصلين (خيار الاتصال والمخزون الأساسي) بحيث أنه بغض النظر عن المكان الذي يذهب فيه السعر الأساسي (110 دولار أو 90 دولارا)، فإن العائد الصافي على الحافظة دائما بقي على حاله.لنفترض أننا نشتري أسهم "د" من خيار المكالمة الأساسية وقصيرة واحدة لإنشاء هذه المحفظة.

إذا كان السعر يذهب إلى 110 $، سوف تكون أسهمنا بقيمة 110 دولار * د وسوف نفقد 10 $ على مكافأة المكالمة قصيرة. وستكون القيمة الصافية لمحفظتنا) 110 - 10 (.

إذا انخفض السعر إلى 90 دولارا، فستكون أسهمنا بقيمة 90 دولارا أمريكيا (أو ما يعادله بالعملة المحلية)، وسينتهي الخيار بلا قيمة. وستكون القيمة الصافية لمحفظتنا) 90 د (.

إذا أردنا أن تظل قيمة محفظتنا هي نفسها، بغض النظر عن أينما يذهب سعر السهم الأساسي، فإن قيمة محفظتنا يجب أن تبقى كما هي في أي من الحالتين. ه. :

=> (110 د - 10) = 90 د

=> د = ½

ط. ه. إذا كنا نشتري نصف حصة (على افتراض أن عمليات الشراء الجزئية ممكنة)، فإننا سنعمل على إنشاء محفظة بحيث تظل قيمتها متماثلة في الدولتين المحتملتين ضمن الإطار الزمني المحدد لسنة واحدة. (النقطة 1)

قيمة المحفظة هذه، المشار إليها ب (90d) أو (110d -10) = 45، هي سنة واحدة أسفل الخط. ولحساب قيمته الحالية، يمكن خصمه من خلال معدل العائد الخالي من المخاطر (على افتراض 5٪).

= 90d * إكس (-5٪ * 1 يار) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => القيمة الحالية للمحفظة

بما أن الحافظة تتكون حاليا من ½ حصة الأسهم الأساسية مع سعر السوق 100 $) و 1 مكالمة قصيرة، ينبغي أن يكون مساويا للقيمة الحالية المحسوبة أعلاه ط. ه.

= 1/2 * 100 - 1 * سعر المكالمة = 42. 85

=> سعر المكالمة = $ 7. 14 ط. ه. سعر المكالمة اعتبارا من اليوم.

وبما أن هذا يستند إلى الافتراض الوارد أعلاه أن قيمة المحفظة تبقى كما هي بغض النظر عن الطريقة التي يذهب بها السعر الأساسي (النقطة 1 أعلاه)، فإن احتمال زيادة التحرك لأعلى أو لأسفل لا يلعب أي دور هنا. ولا تزال المحفظة خالية من المخاطر، بصرف النظر عن التحركات الأساسية للأسعار.

في كلتا الحالتين (من المفترض أن يصل التحرك إلى 110 $ وهبوطا إلى 90 $)، محفظتنا محايدة للمخاطر ويحصل على معدل العائد الخالي من المخاطر.

ومن هنا سيكون كل من التجار، بيتر وبولس، على استعداد لدفع نفس $ 7. 14 لهذا الخيار الدعوة، بغض النظر عن تصوراتهم المختلفة الخاصة لاحتمالات تصل التحركات (60٪ و 40٪). ولا تلعب احتمالاتهم الفردية دورا مهما في تقييم الخيارات، كما يتضح من المثال أعلاه.

إذا افترضنا أن الاحتمالات الفردية ذات أهمية، فستكون هناك فرص للمراجحة. في العالم الحقيقي، توجد فرص المراجحة هذه مع فروق أسعار طفيفة وتختفي على المدى القصير.

ولكن أين هو التقلب الشديد في كل هذه الحسابات، وهو عامل مهم (وأكثر حساسية) يؤثر على تسعير الخيارات؟

يتم تضمين التقلب بالفعل من قبل طبيعة تعريف المشكلة. تذكر أننا نفترض اثنين (واثنين فقط - وبالتالي اسم "ثنائي الحدود") مستويات مستويات الأسعار (110 $ و 90 $). التقلب هو ضمني في هذا الافتراض، وبالتالي تدرج تلقائيا - 10٪ في كلتا الحالتين (في هذا المثال).

الآن دعونا نفعل الاختيار سانيتي لمعرفة ما إذا كان نهجنا هو الصحيح ومتماسكة مع التسعير بلاك سكولز شائعة الاستخدام. (انظر: نموذج تقييم الخيار بلاك سكولز ).

وهنا لقطات من نتائج حاسبة النتائج (مجاملة من منظمة المؤتمر الإسلامي)، الذي يطابق بشكل وثيق مع القيمة المحسوبة لدينا.

لسوء الحظ، العالم الحقيقي ليس بسيطا مثل "دولتين فقط". هناك عدة مستويات الأسعار التي يمكن تحقيقها من قبل السهم حتى الوقت لانتهاء الصلاحية.

هل يمكن تضمين كل هذه المستويات المتعددة في نموذج التسعير الثنائي الحد الذي يقتصر على مستويين فقط؟ نعم، فمن الممكن جدا، وفهم ذلك، دعونا ندخل في بعض الرياضيات البسيطة.

يتم تخطي بعض الخطوات الحسابية المتوسطة للحفاظ على تلخيصها وتركز على النتائج.

لمواصلة المضي قدما، دعونا تعميم هذه المشكلة والحل:

'X' هو سعر السوق الحالي من الأسهم و 'X * ش' و 'X * د' هي الأسعار في المستقبل لأعلى وأسفل التحركات ' بعد سنوات. عامل 'ش' سيكون أكبر من 1 لأنها تشير إلى الخطوة و 'د' سوف تقع بين 0 و 1. للحصول على المثال أعلاه، ش = 1. 1 و d = 0. 9.

تكون قيمة مردود خيار المكالمة "P _أعلى " و "P _دن " للتحرك صعودا وهبوطا في وقت انتهاء الصلاحية.

إذا قمنا ببناء محفظة من الأسهم المشتراة اليوم وخيار اتصال واحد قصير، ثم بعد الوقت 't':

قيمة المحفظة في حالة المتابعة = s * X * u - P

قيمة المحفظة في حالة انخفاض السعر = s * X * d - P _دن

بالنسبة للتقييم المماثل في أي من حركات السعر،

= s * X * u - P < أوب _{= s * X * d - P} دن _{=> s = (P}

أوب _{- P} دن _{) / (X * )) = لا. من الأسهم لشراء محفظة خالية من المخاطر} القيمة المستقبلية للمحفظة في نهاية السنة ستكون

في حالة ارتفاع الخطوة * s * u - P

أعلى _{( <>}

<) < <) < ) / (X * أود) * X * u - P _أوب فإنه مع معدل خطر خالية من العائد: _{هذا يجب أن تتطابق مع عقد عقد 'ق' أسهم في سعر X، وقيمة المكالمة القصيرة 'ج' ط. ه. (s * X - c) يجب أن يساوي ما سبق. حل ل c يعطي أخيرا c على النحو التالي:}

إذا كنا نقصر قسط الدعوة ينبغي أن يكون إضافة إلى بورتفوليو ليس سوبتراكتيون.

طريقة أخرى لكتابة المعادلة أعلاه هي إعادة ترتيبها كما يلي:

أخذ q كما

ثم فوق المعادلة يصبح

إعادة ترتيب المعادلة من حيث "q" قد عرضت منظور جديد.

"q" يمكن تفسيرها الآن على أنه احتمال تحرك الجزء الأساسي (كما هو "q" مرتبط ب P

أعلى

و "1-q" مرتبط ب P _دن ). وعموما، تمثل المعادلة أعلاه سعر الخيار الحالي. ه. القيمة المخفضة لمردودها عند انتهاء صلاحيتها. _{كيف يكون هذا الاحتمال "q" مختلفا عن احتمال رفع أو هبوط الخطوة الأساسية؟} قيمة سعر السهم في الوقت t = q * X * u + (1-q) * X * d

استبدال قيمة q وإعادة ترتيبها، سعر السهم في الوقت t يأتي إلى

i . ه. في هذا العالم المفترض من الدولتين، وسعر الأسهم ببساطة يرتفع بنسبة خالية من المخاطر معدل العائد، ط. ه. تماما مثل الأصول الخالية من المخاطر، وبالتالي فإنها لا تزال مستقلة عن أي مخاطر.إن جميع المستثمرين غير مبالين بالمخاطر بموجب هذا النموذج، وهذا يشكل نموذجا محايدا للمخاطر.

الاحتمال "q" و "(1-q)" يعرفان باحتمالات محايدة للمخاطر وتعرف طريقة التقييم بنموذج تقييم محايد للمخاطر.

المثال أعلاه لديه شرط واحد مهم - مطلوب هيكل العائد في المستقبل مع الدقة (مستوى 110 $ و 90 $). في واقع الحياة، مثل هذا الوضوح حول مستويات السعر القائم على خطوة غير ممكن؛ بدلا من ذلك يتحرك السعر بشكل عشوائي وقد يستقر على مستويات متعددة.

دعنا نوسع المثال كذلك. نفترض أن مستويات السعر خطوة اثنين ممكنة. نحن نعرف الخطوة الثانية من المكافآت النهائية ونحن بحاجة إلى تقييم الخيار اليوم (أي في الخطوة الأولية)

العمل إلى الوراء، يمكن إجراء تقييم الخطوة الأولى المتوسطة (في t = 1) باستخدام المكاسب النهائية في الخطوة الثانية (t = 2)، ومن ثم استخدام هذه القيمة المحسوبة للخطوة الأولى (t = 1)، يمكن الوصول إلى التقييم الحالي (t = 0) باستخدام الحسابات المذكورة أعلاه.

للحصول على تسعير الخيار في لا. 2، والمكافآت في 4 و 5 تستخدم. للحصول على تسعير لا. 3، والمكافآت في 5 و 6 تستخدم. وأخيرا، يتم استخدام الأرباح المحسوبة في 2 و 3 للحصول على التسعير في لا. 1.

يرجى ملاحظة أن مثالنا يفترض نفس العامل لأعلى (وأسفل) التحرك في كلا الخطوتين - u (و d) يتم تطبيقها بطريقة معقدة.

وفيما يلي مثال عملي مع الحسابات:

افترض أن خيار الشراء مع سعر الإضراب $ 110 يتداول حاليا عند 100 دولار وينتهي في سنة واحدة. المعدل السنوي الخالي من المخاطر هو 5٪. ومن المتوقع أن يرتفع السعر بنسبة 20٪ وأن ينخفض ​​بنسبة 15٪ كل ستة أشهر.

دعونا بناء المشكلة:

هنا، ش = 1. 2 و d = 0. 85، X = 100، t = 0. 5

باستخدام الصيغة المستمدة أعلاه

، نحصل على q = 0. 35802832

قيمة خيار الشراء في النقطة 2،

في P

أوبوب

كونديتيون، بيلدينغ ويل بي 100 * 1. 2 * 1. 2 = 144 $ تؤدي إلى P _أوبوب = صفر _{في P} أوبدن

شرط، سوف تكون الكامنة = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 يؤدي إلى P _أوبدن = 8 $ _{في P} دند

شرط، الكامنة سوف تكون = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 دولارا. 25 يؤدي إلى P _دند = $ 37. 75 _p 2

= 0. 975309912 * (0. 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741 _{وبالمثل، p} 3 > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924

ومن ثم قيمة الخيار، p ₁ = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) =

$ 18. 29. _{وبالمثل، تسمح النماذج ذات الحدين بتقسيم مدة الخيار بالكامل إلى مزيد من الخطوات / المستويات المتعددة. باستخدام برامج الكمبيوتر أو جداول البيانات يمكن للمرء أن يعمل إلى الوراء خطوة واحدة في وقت واحد، للحصول على القيمة الحالية من الخيار المطلوب.} دعونا نختتم بمثال واحد آخر يتضمن ثلاث خطوات لتقييم الخيارات ذات الحدين: نفترض خيار وضع من النمط الأوروبي، وبعد 9 أشهر لانتهاء مع سعر الإضراب من 12 $ والسعر الأساسي الحالي في 10 $. افترض معدل خالي من المخاطر بنسبة 5٪ لجميع الفترات. افترض كل 3 أشهر، السعر الأساسي يمكن أن تتحرك 20٪ صعودا أو هبوطا، مما يتيح لنا ش = 1. 2، d = 0. 8، t = 0. 25 و 3 خطوة شجرة الحدين.

تشير الأرقام باللون الأحمر إلى الأسعار الأساسية، في حين تشير الأرقام باللون الأزرق إلى العائد من خيار الشراء.

الاحتمال المحايد للمخاطر q يحسب إلى 0. 531446.

باستخدام القيمة المذكورة أعلاه لقيم q والمردود عند t = 9 أشهر، يتم حساب القيم المقابلة عند t = 6 أشهر على النحو التالي:

وعلاوة على ذلك، القيم المحسوبة عند t = 6، والقيم عند t = 3، ثم t = 0 هي:

تعطي قيمة اليوم الحالي للخيار بوت $ 2. 18، التي هي قريبة جدا من واحد يحسب باستخدام بلاك سكولز نموذج ($ 2. 3)

الخط السفلي

على الرغم من أن استخدام برامج الكمبيوتر يمكن أن تجعل الكثير من هذه الحسابات المكثفة سهلة، والتنبؤ بالأسعار في المستقبل لا يزال وهو قيد رئيسي من النماذج ذات الحدين لتسعير الخيارات. أدق فترات زمنية، وأكثر صعوبة يحصل على التنبؤ بدقة المكافآت في نهاية كل فترة. ومع ذلك، فإن المرونة لدمج التغييرات كما هو متوقع في فترات مختلفة من الزمن هو إضافة واحدة زائد، مما يجعلها مناسبة لتسعير الخيارات الأمريكية، بما في ذلك تقييم ممارسة في وقت مبكر. القيم المحسوبة باستخدام النموذج ذو الحدين تتطابق بشكل وثيق مع تلك المحسوبة من النماذج الأخرى الشائعة الاستخدام مثل بلاك-سكولز، مما يدل على فائدة ودقة النماذج ذات الحدين لتسعير الخيارات. نماذج التسعير ذات الحدين يمكن تطويرها وفقا لتفضيل التاجر ويعمل كبديل ل بلاك سكولز.