التوزيع العادي (بيل كيرف ديستريبوتيون)

تميل مجموعات البيانات (مثل ارتفاع 100 إنسان، والعلامات التي حصل عليها 45 تلميذا في فئة، وما إلى ذلك) إلى قيم كثيرة في نفس نقطة البيانات أو ضمن نفس النطاق. ويسمى توزيع نقاط البيانات هذا توزيع منحنى الجرس العادي أو الجرس. على سبيل المثال، في مجموعة من 100 فرد، 10 قد يكون أقل من 5 أقدام، 65 قد تقف بين 5 و 5. 5 أقدام و 25 قد تكون فوق 5. 5 أقدام. يمكن رسم هذا التوزيع المرتبط بمجال معين كما يلي:

وبالمثل، فإن نقاط البيانات المرسومة في الرسوم البيانية لأي مجموعة بيانات معينة قد تشبه أنواع مختلفة من التوزيعات. ثلاثة من الأكثر شيوعا يتم محاذاة الانحياز، يمين الانحياز والتوزيعات مختلطة:

لاحظ خط الاتجاه الأحمر في كل من هذه الرسوم البيانية. وهذا يشير تقريبا إلى اتجاه توزيع البيانات. الأول، "ليفت أليغند ديستريبوتيون"، يشير إلى أن غالبية نقاط البيانات تقع في النطاق الأدنى. في الرسم البياني "رايت أليغند ديستريبوتيون" الثاني، تقع غالبية نقاط البيانات في الطرف الأعلى من النطاق، في حين أن آخر "توزيع مختلط" يمثل مجموعة بيانات مختلطة دون أي اتجاه واضح.

هناك الكثير من الحالات التي يكون فيها توزيع نقاط البيانات حول قيمة مركزية، ويظهر هذا الرسم البياني التوزيع الطبيعي المثالي، المتوازن بالتساوي على كلا الجانبين مع أكبر عدد من نقاط البيانات تتركز في المركز.

فيما يلي مجموعة بيانات مثالية موزعة بشكل طبيعي.

القيمة المركزية هنا هي 50، والتي لديها أكبر عدد من نقاط البيانات، وتناقص التدريجي التوزيع بشكل موحد نحو القيم نهاية المتطرفة من 0 و 100، والتي لديها أقل عدد من نقاط البيانات. التوزيع الطبيعي هو متناظرة حول القيمة المركزية مع نصف القيم على كل جانب.

• وهناك الكثير من الأمثلة على الحياة الحقيقية تناسب توزيع منحنى الجرس:
• إرم عملة عادلة عدة مرات (ويقول 100 مرة أو أكثر)، وسوف تحصل على توزيع طبيعي متوازن من الرأس والذيل.
• لفة زوج من النرد العادل عدة مرات (نقول 100 مرة أو أكثر) والنتيجة ستكون متوازنة، والتوزيع الطبيعي تتمحور حول عدد 7 و مستدق موحد نحو القيم المتطرفة نهاية 2 و 12.
• و ارتفاع الأفراد في مجموعة من حجم كبير وعلامات تم الحصول عليها من قبل الناس في فئة على حد سواء تتبع أنماط التوزيع العادية.في المالية، يفترض أن التغيرات في قيم السجل

من أسعار العملات الأجنبية، ومؤشرات الأسعار، وأسعار الأسهم توزع عادة.

العلاقة بالتمويل والاستثمار أي استثمار له جانبان: المخاطر والعائد. المستثمرون يبحثون عن أدنى مخاطر ممكنة لأعلى عائد ممكن. ويحدد التوزيع الطبيعي هذين الجانبين بمتوسط ​​العوائد والانحراف المعياري للمخاطر. تحليل متوسط ​​التباين

. يعني أو

القيمة المتوقعة

يعني سعر السهم المحدد أن التغيير يمكن أن يكون 1. 5٪ على أساس يومي - وهذا يعني أنه في المتوسط، فإنه يرتفع بنسبة 1. 5٪. ويمكن التوصل إلى هذه القيمة المتوسطة أو القيمة المتوقعة للعوائد المؤكدة عن طريق حساب المتوسط ​​على مجموعة بيانات كبيرة بما فيه الكفاية تحتوي على تغيرات تاريخية في الأسعار اليومية لهذا المخزون. وكلما ارتفع المتوسط، كان ذلك أفضل.

الانحراف المعياري

يشير الانحراف المعياري إلى المبلغ الذي تنحرف القيم عنه في المتوسط ​​عن المتوسط. وكلما ارتفع الانحراف المعياري، كان الاستثمار أكثر خطورة، لأنه يؤدي إلى مزيد من عدم اليقين.

وفيما يلي تمثيل بياني لنفسه:

وبالتالي، فإن التمثيل البياني للتوزيع العادي من خلال متوسطه وانحرافه المعياري، يمكن تمثيل كل من العوائد والمخاطر ضمن نطاق محدد بوضوح.

ومن المفيد معرفة (والتأكد من اليقين) أنه إذا كانت بعض البيانات يتبع نمط التوزيع الطبيعي، فإن متوسطه سوف تمكننا من معرفة ما يعود للنتوقع، وانحرافه المعياري سوف تمكننا من معرفة أن حوالي 68٪ من ستكون القيم ضمن 1 انحراف معياري، 95٪ ضمن 2 انحراف معياري و 99٪ من القيم سوف تقع ضمن 3 انحرافات معيارية. مجموعة البيانات التي تعني 1. 5 والانحراف المعياري 1 هي أكثر خطورة من مجموعة بيانات أخرى لها متوسط ​​1.5 والانحراف المعياري 0. 1.

معرفة هذه القيم لكل أصل محدد (أي الأسهم والسندات و الأموال) سيجعل المستثمر على بينة من العوائد والمخاطر المتوقعة.

من السهل تطبيق هذا المفهوم وتمثل المخاطر والعائد على سهم واحد أو سند أو صندوق واحد، ولكن هل يمكن توسيع نطاقه ليشمل محفظة أصول متعددة؟

يبدأ الأفراد التداول عن طريق شراء أسهم أو سندات واحدة، أو الاستثمار في صندوق استثمار مشترك. تدريجيا، فإنها تميل إلى زيادة حيازاتها وشراء العديد من الأسهم والأموال أو الأصول الأخرى، وبالتالي إنشاء محفظة. في هذا السيناريو المتزايد، يقوم الأفراد ببناء محافظهم دون استراتيجية أو الكثير من التفكير. يتبع مديري الصناديق المهنية والتجار وصانعي السوق طريقة منهجية لبناء محفظتهم باستخدام نهج رياضي يسمى نظرية المحفظة الحديثة (مبت) التي تقوم على مفهوم "التوزيع الطبيعي. "

نظرية الحافظة الحديثة

تقدم نظرية المحفظة الحديثة نهجا رياضيا منهجيا يهدف إلى تعظيم العائد المتوقع للمحفظة مقابل مبلغ معين من مخاطر المحفظة عن طريق تحديد نسب الأصول المختلفة. بالتناوب، فإنه يقدم أيضا لتقليل المخاطر لمستوى معين من العائد المتوقع.

ولتحقیق ھذا الھدف، لا ینبغي اختیار الأصول التي ینبغي إدراجھا في المحفظة علی أساس الجدارة الفردیة فحسب، بل بدلا من ذلك عن کیفیة أداء کل أصل بالنسبة للأصول الأخرى في المحفظة.

باختصار، يحدد مبت كيفية تحقيق أفضل تنويع محفظة لتحقيق أفضل النتائج الممكنة: أقصى عوائد لمستوى مقبول من المخاطر أو الحد الأدنى من المخاطر لمستوى المطلوب من العوائد.

اللبنات

وكان مبت هذا المفهوم الثوري عندما تم تقديم أن المخترعين فازوا بجائزة نوبل. وقد وفرت هذه النظرية بنجاح صيغة رياضية لتوجيه التنويع في الاستثمار.

التنويع هو أسلوب إدارة المخاطر، مما يزيل مخاطر "جميع البيض في سلة واحدة" من خلال الاستثمار في الأسهم غير المترابطة، القطاعات، أو فئات الأصول. ومن الناحية المثالية، سيؤدي الأداء الإيجابي لأحد الأصول في المحفظة إلى إلغاء الأداء السلبي للموجودات الأخرى. للحصول على متوسط ​​العائد من المحفظة التي تحتوي على n _{أصول مختلفة، يتم احتساب التركيبة المرجحة النسبية من عوائد الأصول التأسيسية. نظرا لطبيعة الحسابات الإحصائية والتوزيع الطبيعي، يتم حساب العائد الإجمالي للحافظة (R} p

) على النحو التالي: _{المجموع (Σ) حيث w} i _{الأصل i في المحفظة R} i

هو العائد (المتوسط) للأصل i. _{إن مخاطر المحفظة (أو الانحراف المعياري) هي دالة على الارتباطات بين الأصول المدرجة لجميع أزواج الأصول (فيما يتعلق ببعضها البعض في الزوج). نظرا لطبيعة الحسابات اإلحصائية والتوزيع الطبيعي، يتم حساب مخاطر الحافظة اإلجمالية) <ستد-ديف (}

على النحو التالي:

حيث يكون معامل اإلرتباط هو معامل االرتباط بين عوائد األصول i و j، و سرت هو الجذر التربيعي.

هذا يعتني بالأداء النسبي لكل أصل فيما يتعلق بالأخرى.

على الرغم من أنه يبدو معقدا رياضيا، فإن المفهوم البسيط المطبق هنا لا يتضمن فقط الانحرافات المعيارية للأصول الفردية، بل يشمل أيضا الانحرافات المعيارية للأصول الفردية فيما يتعلق ببعضها البعض.

مثال جيد متاح هنا من جامعة واشنطن.

مثال سريع

كخبرة فكرية، دعونا نتصور أننا مدير محفظة الذي أعطي رأس المال ومكلف بمقدار رأس المال الذي يجب تخصيصه لمجموعتين متاحتين (A & B)، بحيث يتوقع العائد هو الحد الأقصى والمخاطر هي أدنى.

تتوفر لدينا أيضا القيم التالية:

R _a = 0. 175

R _b = 0. 055

(ستد-ديف) << a _{= 0. 258} (ستد-ديف)

b _{= 0. 115} (ستد-ديف)

أب _{= -0. 004875} (كور-كوف)

أب _{= -0. 164} بدءا من 50-50 تخصيص لكل أصل A & B، R

p _{يحسب إلى 0. 115 و (ستد-ديف)} p _{يأتي إلى 0. 1323 ، وتبين لنا مقارنة بسيطة أنه بالنسبة لمحفظة الأصول هذه، فإن العائد وكذلك المخاطر في منتصف الطريق بين القيم الفردية لكل أصل.} ومع ذلك، فإن هدفنا هو تحسين عائد المحفظة إلى ما هو أبعد من مجرد متوسط ​​الأصول الفردية والحد من المخاطر بحيث تكون أقل من الأصول الفردية.

دعونا نأخذ الآن 1. 5 وضع تخصيص رأس المال في الأصول A، و -0. 5 (تخصيص رأس المال السالب يعني تقصير المخزون ورأس المال المستلم في شراء فائض األصول األخرى مع تخصيص رأس المال اإليجابي، وبعبارة أخرى، فإننا نقصر المخزون ب ل 0.5 مرات من رأس المال واستخدام هذا المال لشراء الأسهم ألف للمبلغ 1. 5 مرات من رأس المال.)

باستخدام هذه القيم، نحصل على R

p _{أس 0. 1604 أند (ستد-ديف) < p} أس 0. 4005. _{وبالمثل، يمكننا الاستمرار في استخدام أوزان تخصيص مختلفة للأصول A & B، والوصول إلى مجموعات مختلفة من رب و (ستد-ديف) p. وفقا للعودة المرجوة (رب)، يمكن للمرء أن يختار أفضل مستوى خطر مقبول (ستد-ديف) p. بدلا من ذلك، لمستوى المخاطر المطلوب، يمكن للمرء أن يختار أفضل عائد محفظة المتاحة. وفي كلتا الحالتين، من خلال هذا النموذج الرياضي لنظرية المحفظة، فمن الممكن لتلبية هدف إنشاء محفظة فعالة مع مزيج المرجوة من المخاطر والعائد.} استخدام الأدوات الآلية يسمح لأحد بسهولة وبسلاسة كشف أفضل النسب المخصصة المخصصة بسهولة، دون الحاجة إلى حسابات يدوية طويلة.

تتطور أيضا الحدود الفعالة، نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (كابم) وتسعير الأصول باستخدام مبت من نفس نموذج التوزيع العادي ويمتد إلى مبت.

التحديات التي تواجهها مبت (والتوزيع الطبيعي الكامن وراءها):

للأسف، لا يوجد نموذج رياضي مثالي ولكل منها أوجه قصور وقصور.

الافتراض الأساسي بأن سعر السهم يعود يتبع التوزيع الطبيعي نفسه هو موضع شك مرارا وتكرارا. وهناك ما يكفي من الأدلة التجريبية على الحالات التي تفشل فيها القيم في التقيد بالتوزيع الطبيعي المفترض. وقد يؤدي وضع نماذج معقدة على هذه الافتراضات إلى نتائج ذات انحرافات كبيرة.

وإذا ما انتقلنا إلى نظام مبت، فإن الحسابات والافتراضات المتعلقة بمعامل الارتباط والتباين المتبقي ثابتة (استنادا إلى البيانات التاريخية) قد لا تكون بالضرورة صحيحة للقيم المتوقعة في المستقبل. على سبيل المثال، أظهرت أسواق السندات والأسهم ارتباطا مثاليا في سوق المملكة المتحدة خلال الفترة من 2001 إلى 2004، حيث انخفضت العائدات من كلا الأصلين في وقت واحد. في الواقع، لوحظ العكس على مدى فترات تاريخية طويلة قبل عام 2001.

سلوك المستثمر لا يؤخذ في الاعتبار في هذا النموذج الرياضي. يتم إهمال الضرائب وتكاليف المعاملات، على الرغم من افتراض تخصيص رأس المال الجزئي وإمكانية تقصير الأصول.

في الواقع، فإن أيا من هذه الافتراضات قد لا يكون صحيحا، مما يعني أن العائد المالي المحقق قد يختلف كثيرا عن الأرباح المتوقعة.

الخلاصة:

توفر النماذج الرياضية آلية جيدة لقياس بعض المتغيرات بأرقام مفردة قابلة للتتبع. ولكن بسبب القيود المفروضة على الافتراضات، قد تفشل النماذج. التوزيع العادي، الذي يشكل أساس نظرية المحفظة، قد لا ينطبق بالضرورة على المخزونات وأنماط أسعار الأصول المالية الأخرى. نظرية المحفظة في حد ذاتها لديها الكثير من الافتراضات التي ينبغي دراستها بشكل حاسم، قبل اتخاذ القرارات المالية الهامة.